$\sum$級數之上下界變換

在微積分中,我們常會使用變數變換,來使整個積分更好積,做完變數變換後,別忘了同時改變上下界,以免辛苦的成果功虧一簣。
級數裡面也有異曲同工之妙,需要變換上下界,使我們能繼續往後的數學運算,這在微分方程、訊號與系統(Discrete time Fourier transform等等)都會用到。

以下就以解微分方程會遇到的情況為例

$\LARGE\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} } +\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n} =0$

為了把兩個級數合在一起,我們需要把 $\large x$ 弄成同樣次方
所以我們把 $\large n$ 用 $\large k+1$ 帶入,也就是:
$\Large n=k+1$
$\Large k=n-1$

所以

$\Large\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} }=\sum{\left(4(k+1)^2-2(k+1)\right)a_{k+1}x^k}$

大家可以看到此時的變數已經變成 $\large k$ 了,我們的級數上下界當然也要跟著變,又 $\large n$ 是從 $\large 0$ 開始,所以 $\large k$ 就是從 $\large -1$ 開始 ($\large k_1=n_1-1=0-1$)

所以

$\Large\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} }=\sum\limits_{k=-1}^{\infty}{\left(4(k+1)^2-2(k+1)\right)a_{k+1}x^k}$

讀者可以自行試試將這兩個級數展開,就會發現這兩種寫法表示的是同一個級數。另外,也可以發現到,跟積分變數變換的道理很像

又級數的指標($\large k$、$\large n$)不會影響級數本身,也就是

$\Large\sum\limits_{k=-1}^{\infty}{\left(4(k+1)^2-2(k+1)\right)a_{k+1}x^k}=\sum\limits_{n=-1}^{\infty}{\left(4(n+1)^2-2(n+1)\right)a_{n+1}x^n}$

於是就完成上下界的變換了!
原式:

$\Large\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} } +\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n} $ $\Large=\sum\limits_{n=-1}^{\infty}{\left(4(n+1)^2-2(n+1)\right)a_{n+1}x^n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n}$
$\Large=\sum\limits_{n=-1}^{\infty }{\left(4n^2+6n+2\right) a_{n+1}x^n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n}$
$\Large=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left(4n^2+6n+2\right) a_{n+1}x^n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n}$ (因為首項為0 ($n=-1$代入 $4n^2+6n+2$
$\Large=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left((4n^2+6n+2) a_{n+1}+a_n\right)x^n}$

於是就完成級數的合併了!

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