必看!超快積分法,必會積分技巧,超高計算速度,再也不會計算凸槌(3)

再經過前面兩節的介紹之後,想必讀者一定都有了基礎的概念,最後這一小節,我將舉出四個例子,讓大家能更具體的瞭解如何使用這個計算方法,也建議讀者們可以先把答案遮起來,自己算算看!最後再帶入第一節所要講的證明,畫下一個完美的句點。

範例一

$\Large\int{\ln xdx}$

(讀者可以自己試試看一步一步分部積分,再來比較此法的速度、以及計算難易度)

所以為$\Large x\ln x- \int 1dx= x\ln x- x+c$

範例二

$\Large\int{e^{3x}\sin 2xdx}$

所以$\Large\int e^{3x}\sin 2xdx=\frac{1}{3} e^{3x}\sin2x-\frac{2}{9} e^{3x}\cos2x-\int\frac{4}{9}e^{3x}\sin 2xdx$

$\Large\Rightarrow\frac{13}{9}\int e^{3x}\sin 2xdx=\frac{1}{3} e^{3x}\sin2x-\frac{2}{9} e^{3x}\cos2x+c$

$\Large\Rightarrow\int e^{3x}\sin 2xdx=\frac{3}{13}e^{3x}\sin2x-\frac{2}{13}e^{3x}\cos2x+c$

大家積出來之後,可以微分回去,驗算看看對不對

範例三

$\Large\int_{0}^{1}{x2^xdx}$

$\Large\int_{0}^{1}{x2^xdx}=\left(x\cdot \frac{2^{x}}{\ln 2}-\frac{2^{x}}{\left(\ln 2\right)^{2}}\right) \Bigg| _{0}^{1}$

範例四

$\Large\int{\sin^{-1} xdx}$

請看附錄<反三角函數的微分>

所以$\Large\int{\sin^{-1} xdx}=x\sin^{-1} xdx-\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2} } }$

其中$\Large\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2} } }=\int{\frac{-udu}{u} }$

(令 $\Large u={\sqrt{1-x^2}}\quad \Rightarrow u^2=1-x^2\Rightarrow 2udu=-2xdx$)

故$\Large\int{\sin^{-1} xdx}=x\sin^{-1} xdx+\sqrt{1-x^2}+c$

心得:

由此,我們可以觀察出三大類情況:
1. 微到 0 為止,如範例三
2. 微到可以積的項,如範例一、範例四
3. 微出自己本身,如範例二
當然也有第四種情況是最後是積不出來的(仍留下積分項),但經過I.B.P後有降階的效果(降到不能再積為止)

通常會把可以微到0的放左邊,如多項式部分
好積的,如$e^x$、$\sin x$、$\cos x$放右邊

請看附錄<反三角函數的微分>
請看附錄<快速積分法第一節跳過的證明>

發表迴響