在微積分中，我們常會使用變數變換，來使整個積分更好積，做完變數變換後，別忘了同時改變上下界，以免辛苦的成果功虧一簣。
級數裡面也有異曲同工之妙，需要變換上下界，使我們能繼續往後的數學運算，這在微分方程、訊號與系統(Discrete time Fourier transform等等)都會用到。
以下就以解微分方程會遇到的情況為例
$\LARGE\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} } +\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n} =0$
為了把兩個級數合在一起，我們需要把 $\large x$ 弄成同樣次方
所以我們把 $\large n$ 用 $\large k+1$ 帶入，也就是：
$\Large n=k+1$
$\Large k=n-1$
所以
$\Large\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} }=\sum{\left(4(k+1)^2-2(k+1)\right)a_{k+1}x^k}$
大家可以看到此時的變數已經變成 $\large k$ 了，我們的級數上下界當然也要跟著變，又 $\large n$ 是從 $\large 0$ 開始，所以 $\large k$ 就是從 $\large -1$ 開始 ($\large k_1=n_1-1=0-1$)
所以
$\Large\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} }=\sum\limits_{k=-1}^{\infty}{\left(4(k+1)^2-2(k+1)\right)a_{k+1}x^k}$
讀者可以自行試試將這兩個級數展開，就會發現這兩種寫法表示的是同一個級數。另外，也可以發現到，跟積分變數變換的道理很像
又級數的指標($\large k$、$\large n$)不會影響級數本身，也就是
$\Large\sum\limits_{k=-1}^{\infty}{\left(4(k+1)^2-2(k+1)\right)a_{k+1}x^k}=\sum\limits_{n=-1}^{\infty}{\left(4(n+1)^2-2(n+1)\right)a_{n+1}x^n}$
於是就完成上下界的變換了！
原式：
$\Large\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(4n^2-2n\right)a_nx^{n-1} } +\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n} $ $\Large=\sum\limits_{n=-1}^{\infty}{\left(4(n+1)^2-2(n+1)\right)a_{n+1}x^n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n}$
$\Large=\sum\limits_{n=-1}^{\infty }{\left(4n^2+6n+2\right) a_{n+1}x^n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n}$
$\Large=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left(4n^2+6n+2\right) a_{n+1}x^n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_nx^n}$ (因為首項為0 ($n=-1$代入 $4n^2+6n+2$
$\Large=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left((4n^2+6n+2) a_{n+1}+a_n\right)x^n}$
於是就完成級數的合併了！
