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必看!超快積分法,必會積分技巧,超高計算速度,再也不會計算凸槌(1)

前言

積分技巧不外乎就是兩個,變數變換、Integration by part (I.B.P)
今天要教大家的就是 I.B.P 的進階擴充版,有了這個技巧,可以:

  • 大大加速積分時的計算速度
  • 讓計算過程變得簡潔
  • 讓出錯率幾乎歸零!

總而言之就是終生受用,身為科學人、工程人的各位,一定要會的技巧!

相信大家一定都知道長除法,也知道綜合除法就是根基於長除法,而化簡計算過程,使計算變得簡潔、快速。

而今天教的這個方法,就好比綜合除法之於長除法一樣。

公式推導

大家都熟知的 I.B.P :
udv=uvvdu(1)
其中的vdu
我們又可以再做一次 I.B.P
如果我們取新的u、dv如下
unew=v
dvnew=du

就會得到
vdu=vuudv()
() 式代回 (1) 式,發現顯然這不是我們想要的,因為得到跟剛剛一樣的等式,我們並沒有往前走

所以我們的unewdvnew不能這樣取
我們把
vdu
改寫成vudx
註:f=3x2
f=6x
df=6xdx
df=fdx
vdu=vudx=uvdx
取新的 u、dv 如下
unew=udunew=udx
dvnew=vdxvnew=vdx
為推導方便,在此我們將 v 的一次積分記為 v1
v 的二次積分記為 v2,以此類推
u 的 n 次微分記為 u(n)
所以vnew=vdx=v1+c

vdu=uvdx=uv1v1udx(2)(這步驟其實省略了部分算式,想看嚴謹的推導可以看我的下一篇文章)

將 (2) 代入 (1) 式得:
udv=uv(uv1v1udx)

…請接續看 <必會積分技巧之二>

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