前言
積分技巧不外乎就是兩個,變數變換、Integration by part (I.B.P)
今天要教大家的就是 I.B.P 的進階擴充版,有了這個技巧,可以:
- 大大加速積分時的計算速度
- 讓計算過程變得簡潔
- 讓出錯率幾乎歸零!
總而言之就是終生受用,身為科學人、工程人的各位,一定要會的技巧!
相信大家一定都知道長除法,也知道綜合除法就是根基於長除法,而化簡計算過程,使計算變得簡潔、快速。
而今天教的這個方法,就好比綜合除法之於長除法一樣。
公式推導
大家都熟知的 I.B.P :
∫udv=uv−∫vdu(1)
其中的∫vdu
我們又可以再做一次 I.B.P
如果我們取新的u、dv如下
unew=v
dvnew=du
就會得到
∫vdu=vu−∫udv(∗)
把 (∗) 式代回 (1) 式,發現顯然這不是我們想要的,因為得到跟剛剛一樣的等式,我們並沒有往前走
所以我們的unew、dvnew不能這樣取
我們把
∫vdu
改寫成∫v⋅u′dx
註:f=3x2
f′=6x
df=6xdx
故df=f′dx
∫vdu=∫v⋅u′dx=∫u′⋅vdx
取新的 u、dv 如下
unew=u′dunew=u′′dx
dvnew=vdxvnew=∫vdx
為推導方便,在此我們將 v 的一次積分記為 v1
v 的二次積分記為 v2,以此類推
u 的 n 次微分記為 u(n)
所以vnew=∫vdx=v1+c
∫vdu=∫u′⋅vdx=u′v1−∫v1u′′dx—(2)(這步驟其實省略了部分算式,想看嚴謹的推導可以看我的下一篇文章)
將 (2) 代入 (1) 式得:
∫udv=uv−(u′v1−∫v1u′′dx)
…請接續看 <必會積分技巧之二>