前言
積分技巧不外乎就是兩個，變數變換、Integration by part (I.B.P)
今天要教大家的就是 I.B.P 的進階擴充版，有了這個技巧，可以：
- 大大加速積分時的計算速度
- 讓計算過程變得簡潔
- 讓出錯率幾乎歸零！
總而言之就是終生受用，身為科學人、工程人的各位，一定要會的技巧！
相信大家一定都知道長除法，也知道綜合除法就是根基於長除法，而化簡計算過程，使計算變得簡潔、快速。
而今天教的這個方法，就好比綜合除法之於長除法一樣。
公式推導
大家都熟知的 I.B.P :
$$\Large\int{udv}=uv-\int{vdu}\qquad (1)$$
其中的$$\Large\int{vdu}$$
我們又可以再做一次 I.B.P
如果我們取新的u、dv如下
$u_{new} =v$
$dv_{new} =du$
就會得到
$$\Large\int{vdu}= vu-\int{udv}\qquad (*)$$
把 $(*)$ 式代回 (1) 式，發現顯然這不是我們想要的，因為得到跟剛剛一樣的等式，我們並沒有往前走
所以我們的$u_{new}$、$dv_{new}$不能這樣取
我們把
$$\Large\int{vdu}$$
改寫成$$\Large\int{v\cdot u’dx}$$
註：$f=3x^{2}$
$f’=6x$
$df=6xdx$
故$df=f’dx$
$$\Large\int{vdu}=\int{v\cdot u’dx}=\int{u’\cdot vdx}$$
取新的 u、dv 如下
$u_{new} =u’\qquad du_{new}=u^{\prime\prime} dx$
$dv_{new} =vdx\quad v_{new}=\int{vdx}$
為推導方便，在此我們將 $v$ 的一次積分記為 $v_{1}$
$v$ 的二次積分記為 $v_{2}$，以此類推
$u$ 的 n 次微分記為 $u^{(n)}$
所以$v_{new}=\int{vdx}=v_{1}+c$
$$\Large\int{vdu}=\int{u’\cdot vdx}=u’v_{1}-\int{v_{1}u^{\prime\prime}dx}\qquad—(2)$$(這步驟其實省略了部分算式，想看嚴謹的推導可以看我的下一篇文章)
將 (2) 代入 (1) 式得：
$$\Large\int{udv}=uv-\left(u’v_{1}-\int{v_{1}u^{\prime\prime}dx}\right)$$
…請接續看 <必會積分技巧之二>
