必看!必會積分技巧,超高計算速度,再也不會計算凸槌(1)

前言

積分技巧不外乎就是兩個,變數變換、Integration by part (I.B.P)
今天要教大家的就是 I.B.P 的進階擴充版,有了這個技巧,可以:

  • 大大加速積分時的計算速度
  • 讓計算過程變得簡潔
  • 讓出錯率幾乎歸零!

總而言之就是終生受用,身為科學人、工程人的各位,一定要會的技巧!

相信大家一定都知道長除法,也知道綜合除法就是根基於長除法,而化簡計算過程,使計算變得簡潔、快速。

而今天教的這個方法,就好比綜合除法之於長除法一樣。

公式推導

大家都熟知的 I.B.P :
$$\Large\int{udv}=uv-\int{vdu}\qquad (1)$$
其中的$$\Large\int{vdu}$$
我們又可以再做一次 I.B.P
如果我們取新的u、dv如下
$u_{new} =v$
$dv_{new} =du$

就會得到
$$\Large\int{vdu}= vu-\int{udv}\qquad (*)$$
把 $(*)$ 式代回 (1) 式,發現顯然這不是我們想要的,因為得到跟剛剛一樣的等式,我們並沒有往前走

所以我們的$u_{new}$、$dv_{new}$不能這樣取
我們把
$$\Large\int{vdu}$$
改寫成$$\Large\int{v\cdot u’dx}$$
註:$f=3x^{2}$
$f’=6x$
$df=6xdx$
故$df=f’dx$
$$\Large\int{vdu}=\int{v\cdot u’dx}=\int{u’\cdot vdx}$$
取新的 u、dv 如下
$u_{new} =u’\qquad du_{new}=u^{\prime\prime} dx$
$dv_{new} =vdx\quad v_{new}=\int{vdx}$
為推導方便,在此我們將 $v$ 的一次積分記為 $v_{1}$
$v$ 的二次積分記為 $v_{2}$,以此類推
$u$ 的 n 次微分記為 $u^{(n)}$
所以$v_{new}=\int{vdx}=v_{1}+c$

$$\Large\int{vdu}=\int{u’\cdot vdx}=u’v_{1}-\int{v_{1}u^{\prime\prime}dx}\qquad—(2)$$(這步驟其實省略了部分算式,想看嚴謹的推導可以看我的下一篇文章)

將 (2) 代入 (1) 式得:
$$\Large\int{udv}=uv-\left(u’v_{1}-\int{v_{1}u^{\prime\prime}dx}\right)$$

…請接續看 <必會積分技巧之二>

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