在高中物理碰撞這個單元裡面，常會碰到一個經典的題目，題目如下圖
高中老師看到這個題目通常都會直接叫你把答案背起來，那想必一定會有不少同學很好奇這題到底要怎麼解，Grandy這邊提供兩種解法，一種是用python跑模擬，程式百分之百是自己寫的，沒有用到任何library，這種方法高中生、甚至國中生都可以理解；第二種方法是使用微分方程式解出運動方程，但這需要較高的數學知識，可能需要到大一、大二的程度才能理解，但還是很推薦高中生們欣賞看看。
我們先來分析兩物體的受力情況：
如圖所示，我們令 $m$ 剛碰到彈簧時(碰撞剛發生時)，$t=0$，並且令向右為正。
經過一段時間之後，兩剛體皆向右移動一段距離，我們令 $m$ 的位移為 $x_1$，$M$ 的位移為 $x_2$
$m$ 的速度 $v_1$，為$x_1$的一次微分，如果$x_1$的一次微分微出來是負的，就代表此時速度向左；$x_1$ 的一次微分微出來是正的，就代表此時速度向右。同樣的，若二次微分微出來是負的，代表加速度向左；二次微分微出來是正的，就代表此時速度向右。$M$ 也是如此道理，就不再贅述。
接著，彈簧的恢復力為 $F=k\left|\Delta x \right|$，這邊方向就需要大家自己判斷，因為 $a_1$ 應該是負的(此時 $m$ 受彈簧力向左) 所以等號右邊就應該要一樣是負的值，$\left|x_1-x_2 \right|$ 就是彈簧縮短的量，那我們要取負的，所以就得到$ma_1=x_2-x_1$ (因為碰撞剛發生的時候可以想見 $x_1>x_2$ )，相同道理，$M$ 的受力分析就交由大家自己練習。
高中的話到這裡就沒辦法繼續解下去了，所以我們先用程式來模擬看看，以下為完整程式碼：
#作者: Grandy 日期:2021/8/3
#雙振子碰撞時間模擬
dt=0.0000001
m=5
M=10
Vm,VM=50,0 #初速
am,aM=0,0 #初加速度
XM,Xm=0,0
k=8
i=0 #記數，算經過多少time=i*t
while (XM-Xm)<=0:
am=k*(XM-Xm)/m
aM=k*(Xm-XM)/M
Vm=Vm+am*dt
VM=VM+aM*dt
Xm=Xm+Vm*dt
XM=XM+VM*dt
i+=1
t=i*dt
print(t)
只要我們把時間取得夠小，那麼在每一段時間間隔內，都可以視作等狀態的(等速度、等加速度、等外力)，所以先把 dt 取 0.1 微秒，因為是等速度的關係，所以這段時間內前進的位移就是”速度X時間間隔”，速度變化量就是”加速度X時間”。所以我們先把前面推出的加速度代入，推出下一時間間隔的速度，就可以推出下一時間間隔的位移；有了新的位移，就得到新的加速度，再推出新的速度、位移，如此循環，就可以模擬出兩物體的運動狀態。又每做一次while loop，模擬世界中就經過了0.1微秒，所以只要統計做了幾次whlie迴圈，就可以知道碰撞歷時多久了！
我們要知道什麼時候碰撞停止，這樣才有辦法給whlie條件。很直覺的就是如果仍有接觸，那我們就說碰撞還沒停止，那什麼時候沒有接觸了，就是碰撞結束的時候。所以當 $x_1>x_2$ 時，很明顯 $m$ 還跟彈簧有接觸，那當 $x_1=x_2$ 時，應該就是碰撞結束的時候了。我們再換另一個角度想，這是一個彈性碰撞，彈性碰撞就是內動能轉成位能，位能再轉回動能，那麼位能再度歸零時，應該就是碰撞結束的時候了，所以 $x_1=x_2$ 時，彈簧的位能等於零，碰撞結束。
這邊要注意的是，雖然當 $x_1=x_2$ 時，碰撞結束，但若while條件裡只寫 $x_M<x_m$ 的話，會跑不進while而直接輸出0，因為一開始 $x_M=x_m=0$。
讀者們也可以試試看改動前面幾行的參數，就發現這的確是個成功的程式，可以幫我們模擬出雙振子的碰撞時間為理論值：雙振子週期的一半，即：$\frac{1}{2} \times 2\pi\sqrt{\frac{\mu }{k}}$
下一節，我們將帶大家看看如何用物理的角度，解微分方程，得到答案。
完整影片講解如下：https://youtu.be/jBShUtxXM60
