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必看!超快積分法,必會積分技巧,超高計算速度,再也不會計算凸槌(1)

前言 積分技巧不外乎就是兩個,變數變換、Integration by part (I.B.P)今天要教大家的就是 I.B.P 的進階擴充版,有了這個技巧,可以: 大大加速積分時的計算速度讓計算過程變得簡潔讓出錯率幾乎歸零! 總而言之就是終生受用,身為科學人、工程人的各位,一定要會的技巧! 相信大家一定都知道長除法,也知道綜合除法就是根基於長除法,而化簡計算過程,使計算變得簡潔、快速。 而今天教的這個方法,就好比綜合除法之於長除法一樣。 公式推導 大家都熟知的 I.B.P :$$Largeint{udv}=uv-int{vdu}qquad (1)$$其中的$$Largeint{vdu}$$我們又可以再做一次 I.B.P如果我們取新的u、dv如下$u_{new} =v$$dv_{new} =du$ 就會得到$$Largeint{vdu}= vu-int{udv}qquad (*)$$把 $(*)$ 式代回 (1) 式,發現顯然這不是我們想要的,因為得到跟剛剛一樣的等式,我們並沒有往前走 所以我們的$u_{new}$、$dv_{new}$不能這樣取我們把$$Largeint{vdu}$$改寫成$$Largeint{vcdot u'dx}$$註:$f=3x^{2}$$f'=6x$$df=6xdx$故$df=f'dx$$$Largeint{vdu}=int{vcdot u'dx}=int{u'cdot vdx}$$取新的 u、dv 如下$u_{new} =u'qquad du_{new}=u^{primeprime} dx$$dv_{new} =vdxquad v_{new}=int{vdx}$為推導方便,在此我們將 $v$ 的一次積分記為 ...

什麼是電場?為什麼要定義電場?

前言 在筆者 Grandy 的教學經驗過程中,常常會遇到學生問說:為什麼要定義電場呢?如果要算電力的話,我們為何不直接用$$Largefrac{kQq}{r^2}$$來算電力就好? 幹嘛還要繞一大圈找出電場,再用$$LARGE vec{F} = q vec{E}$$找出電力呢? 引入新概念 Grandy在這裡先給大家想一個題目,閉上眼睛,好好思考~如果有兩個點電荷 $+Q$、$+q$,其中 $+Q$ 是固定住的,然後不考慮其他所有作用力,如圖一那麼請問:在 $+Q$ 這個點電荷的電量瞬間歸零的當下,$+q$ 所受到的電力是多少?.....想好了嗎? 很多人應該都會直覺回答是 0 對吧 (由庫侖定律得出) 錯!! $+q$ 在 $+Q$ 電量歸零的瞬間所受到的電力不等於 0! 這是因為電場傳遞的速度為光速,所以 $+Q$ 發出的電場,需要一段時間,才能到達 +q 所在的位置。因此,在 $+Q$ 電量歸零的瞬間,$+q$ 這點的電場是不等於零的! 那如果我們不引入電場,這個新的名詞、新的概念,光靠庫侖定律是沒辦法解釋這個物理現象的 (否則你就會得到 ...

Node.js, React 你的第一個網站 Hello, world!

Node.js Node.js 是執行 JavaScript 伺服器端的伺服器端 JavaScript 執行階段環境。| React React 是前端架構,用來建立 UI。 npm npm 是 Node.js 的預設套件管理員。 套件管理員可讓程式設計人員能夠發佈並共用 Node.js 程式庫的原始程式碼,其設計目的是為了簡化程式庫的安裝、更新及解除安裝。 Step 1: 建置環境(npm, nodejs, react) # Ubuntu sudo apt install npm sudo apt install nodejs 不要使用 sudo npm 做任何事情 npm config ...

網頁數學符號-字元實體(HTML Entity)

Char Dec Hex Entity Name 中文 ∀ 8704 2200 ∀ FOR ALL 對所有 ∁ 8705 2201   COMPLEMENT 補集 ∂ 8706 2202 ∂ PARTIAL DIFFERENTIAL 偏微分 ∃ 8707 2203 ∃ THERE EXISTS 存在 ∄ 8708 2204   THERE DOES NOT EXIST 不存在 ∅ 8709 2205 ∅ EMPTY SET 空集合 ∆ 8710 2206   INCREMENT 增量 ∇ 8711 2207 ∇ NABLA Del算子 ∈ 8712 2208 ∈ ELEMENT OF 屬於 ∉ 8713 2209 ∉ NOT AN ELEMENT OF 不屬於 ∊ 8714 220A   SMALL ELEMENT OF 真屬於 ∋ 8715 220B ∋ CONTAINS AS MEMBER 包涵元素 ∌ 8716 220C   DOES NOT CONTAIN AS MEMBER 不包涵元素 ∍ 8717 220D   SMALL CONTAINS AS MEMBER 真包涵 ∎ 8718 220E   END OF PROOF 證明結束 ∏ 8719 220F ∏ N-ARY PRODUCT 求積 ∐ 8720 2210   N-ARY COPRODUCT 餘乘積 ∑ 8721 2211 ∑ N-ARY SUMMATION 求和 − 8722 2212 − MINUS SIGN 減號 ∓ 8723 2213   MINUS-OR-PLUS SIGN 減加符號 ∔ 8724 2214   DOT ...
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TensorFlow 2 教學:Keras-MNIST-VAE 變分自編碼器

Autoencoder Autoencoder 架構 (source) 在一個標準的 autoencoder 裡,有兩個部份: Encoder(編碼器) 和 Decoder(解碼器),Encoder 將 input (這篇文章將以手寫辨識圖片作為例子),映射成 latent representation (可以想成一個向量),而 Decoder 的目的是再將這個向量重新還原成原始的圖片。 因此 Autoencoder 可以做到將一張圖片壓縮成一個較低維度的 latent representation。就像我們的人腦一樣,看到一張圖片,我們只需要記住一些"特徵"、"概念",而不需要把每一個細節、像素都記下來,下次再看到同一張圖片仍能認得出來。 但是一個標準的 Autoencoder 會有一個問題 : 中間的 latent representation 能夠 "有效的" 代表那張圖片嗎?Autoencoder可能只是死記硬背下這個 latent ...

台大資工所110碩士班軟體參考解答

題號:397科目:資料結構與演算法(A) 本試卷共20題選擇題,作答於答案卡。每題答對5分,不答零分,答錯倒扣2.5分。 $I.$ When CAN the worst case of Quicksort occur? _____(1)_____$small quad C_{1}:$ Quick Sort where leftmost (or rightmost) element is always chosen as pivot$small quad C_{2}:$ leftmost element is chosen ...

演算法 : 時間複雜度-漸進符號 (Asymptotic notation)

什麼是漸進符號 我們通常會用函數來表示演算法的時間及空間複雜度,而漸進符號其實就只是要表達這個函數簡化後的形式,或者也可以說,讓我們知道這個函數的“等級”。 有了演算法複雜度等級之後,我們可以更簡單的與其他演算法進行比較,從中找出最有效率的演算法。 漸進符號有哪些 1. $O$ - notation (Big-oh) 2. $Omega$ - notation (Big-omega) 3. $Theta $ - notation (Big-theta) 4. $o$ - notation (Little-oh) 5. $omega $ - notation ...

波動方程式與其應用和記法

在檢驗是否為波時,我們會利用到下列微分方程式(波動方程式)來確認位置與時間的函數: $$frac{partial^2 y}{partial t^2} = v^2 cdot frac{partial^2 y}{partial x^2}$$ 物理意義為:只要是波,其波函數必符合此微分方程式。只要符合此微分方程式,就是波我們可以利用 $y = f(x - vt)$ 這類常見的波的位置和時間函數來檢驗 $$frac{partial y}{partial t} = f' cdot v$$ (連鎖率,先微外面 $f$ 再微裡面) 也可以寫成 $u = x - vt$ 則 $$begin{aligned}frac{partial y}{partial t} ...
都會阿嬤

Random Walker 隨機漫步模擬

阿嬤碎碎念 在這篇文章中,我們將學會如何在二維平面上,模擬一個 Random Walker (隨機漫步者)。我們可以藉著操縱一個物體的位置 (Position),來讓他在平面上到處亂走。我們將學會向量、隨機、位置等概念。 Vector 向量 向量 (Vector) 是一個數學工具,時常用於數學、物理中。向量具有兩個特徵: 方向長度 因此我們可以很自然的用向量來表示一個物體或一個粒子的速度 (Velocity)、加速度(Acceleration)、動量 (Momentum) 等等,這些性質我們會在未來的文章中使用到。當然,也可以用向量來表示一個物體在座標中的位置 (Position)。這篇文章將實做透過改變一個粒子的位置來模擬一個 Random Walker。 Random Walker 隨機漫步模擬 我們先定義一個 class Walker,並將他的位置以一個向量表示。每次 update 的時候都讓他的位置的 x 值移動 random(-2, 2), y 值也移動 random(-2, 2)。最後在 show函式內定義如何成現在 Canvas ...

航空語言:字母篇

前言 如果你對飛行有興趣的話,相信你一定對於機師與航管員之間的對話充滿好奇。同樣是講英文,每個單字你都知道意思,但組合起來就是怪怪的。我們來看下面的對話: Dynasty 001, taxi via Sierra Sierra, Whiskey Charlie, Sierra Papa, Sierra 1 and hold short of runway 06. 開頭的Dynasty是中華航空的呼號(Callsign),接著的taxi via及最後的hold short of runway 06這些都很清楚,但中間那些Sierra Sierra等等的到底是什麼? 這些看起來奇怪的單字它們其實是北約音標字母,正式名稱為國際無線電通話拼寫字母,也是我們要介紹的航空字母。 字母 北約音標字母包含了A到Z及0到9(共26個拉丁字母及10個阿拉伯數字) 字母寫法唸法AAlfaAL-FAHBBravoBRAH-VOHCCharlieCHAR-LEEDDeltaDELL-TAHEEchoECK-OHFFoxtrotFOKS-TROTGGolfGOLFHHotelHOH-TELIIndiaIN-DEE-AHJJulietJEW-LEE-ETTKKiloKEY-LOHLLimaLEE-MAHMMikeMIKENNovemberNO-VEM-BEROOscarOSS-CAHPPapaPAH-PAHQQuebecKEH-BECKRRomeoROW-ME-OHSSierraSEE-AIR-RAHTTangoTANG-GOUUniformYOU-NEE-FORMVVictorVIK-TAHWWhiskeyWISS-KEYXXrayECKS-RAYYYankeeYANG-KEYZZuluZOO-LOO1OneWUN2TwoTOO3ThreeTREE4FourFOW-ER5FiveFIFE6SixSIX7SevenSEV-EN8EightAIT9NineNIN-ER0ZeroZEE-RO 數字的部分3跟9的唸法要特別注意,其他的數字都跟英文唸法一樣。 練習 有了上面那張表之後,我們再回來翻譯最上面的對話: 翻譯前: Dynasty 001, taxi via Sierra Sierra, Whiskey ...
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都會阿嬤:必看! 人工智慧、深度學習書籍、學習資源大全

書籍 Deep Learning 第一本要提的當然是深度學習聖經中的聖經,偏向數學、理論,是生成對抗網路 (GAN) 之父 Ian Goodfellow 所寫的 Deep Learning,外號花書。 台灣有翻譯成繁體版,或是到書本的網站也有原文書的章節電子檔。 Deep Learning with Python 第二本偏實做,同時也可以學到非常多深度學習的概念。是 Keras 之父 François Chollet 親自撰寫。告訴你模型怎麼建、資料怎麼用、訓練過程是什麼等等,真正讓你可以學到很多東西並且實做的一本書,非常適合想踏進這個領域的人來研究研究。 Pattern Recognition and Machine Learning 第三本偏向傳統機器學習背後的理論,是機器學習的經典教材,涵蓋機器學習、機率、統計、消息理論等等。適合想打底扎穩馬步的人閱讀。 課程影片 Standford CS330 Deep Multi-Task and Meta Learning,雖然深度學習在強化學習、監督學習上面已經取得了很大的成功,像是圖像分類、語音辨識、學習玩遊戲 (Atari Game、Alpha ...

Python 爬蟲教學:爬蟲進化 – 偽裝篇 fake_useragent 介紹

在寫爬蟲程式的時候,遇到最困擾的事情就是有些網站會阻擋爬蟲,畢竟爬蟲程式會消耗對方伺服器的資源,因此對方有可能會把你的 IP 封鎖、把你的 Python爬蟲程式阻擋下來。 今天將介紹一個 Python 套件 fake_useragent,他可以讓我們將程式加上一個 User-Agent,假裝是一個瀏覽器在瀏覽該網站。 User-Agent 如果你按 F12 → Network → 查看某一個資源的 Request Headers 就可以看到一個 User-Agent 的欄位,那個就是你的瀏覽器會發出去的一串文字,告訴對方你的瀏覽器是什麼、作業系統是什麼。 一般瀏覽器常見的 User-Agent 的格式是 User-Agent: Mozilla/5.0 (<system-information>) <platform> (<platform-details>) <extensions> fake-useragent 套件 fake-useragent 套件可以幫助你隨機產生 User-Agent ...