數學 - 都會阿嬤

微分方程 Part 5 偏微分方程式變數分離、經典方程式

這篇文章介紹了偏微分方程式（PDEs）的概念，並解釋了可分離和不可分離PDEs的區別。作者重點討論可分離偏微分方程式的解法，並提到在下一篇文章中將深入探討熱方程式、波動方程式和拉普拉斯方程式等典型PDEs的例子。

本文介紹了兩類重要的微分方程：涉及振動行為的 $y'' + k^2y = 0$ 和涉及指數成長或衰減的 $y'' - k^2y = 0$。這些方程在數學理論以及物理和工程領域有廣泛應用，文中詳細解析了它們的解法和物理意義。

本文探討了非齊次線性微分方程的組成部分和解法，包括相應的齊次微分方程、特解和一般解。通過彈簧質塊系統實例，說明了如何求解此類方程。該分析在科學和工程中對於理解動態系統而言至關重要。

本文介紹了一階微分方程的三種常見求解方法：變數分離法、線性微分方程法和 Bernoulli 方程式。每種方法都有其特定的應用情境和求解步驟，並通過具體例子如放射性衰變、RC電路充電過程和物種有限增長來說明。

分類微分方程需掌握類型、階數、線性性和齊次性。類型分為常微分方程含一個自變數，偏微分方程含多個自變數。階數按最高導數分類，線性性取決於導數是否線性。齊次性看方程右側是否為零，影響外部作用描述。